Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay

14/06/202314/06/2023 thuthuatcaidat.com 0 Comments

Khối quay là gì? Công thức tính chuyển động quay của một đường tròn là gì? Đây là câu hỏi được rất nhiều bạn học sinh quan tâm? Vậy hãy cùng thuthuatcaidat.com theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Trong bài viết dưới đây, thuthuatcaidat.com sẽ giới thiệu đến các em toàn bộ kiến thức về cách tính thể tích khối lập phương tròn xoay cùng một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Thông qua tài liệu này giúp các em học sinh có thêm tài liệu ôn tập, củng cố kiến thức làm quen với các dạng bài tập Hình học. Bên cạnh đó các em có thể xem thêm công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

Mục Lục Ẩn

1. Khối quay là gì?

2. Tính thể tích khối tròn quay quanh trục ox

3. Tính thể tích khối tròn quay quanh trục Oy

4. Ví dụ về thể tích khối lập phương xoay

1. Khối quay là gì?

Trong không gian, hình lập phương xoay là hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định.

Trong chương trình toán phổ thông, các em sẽ được tiếp xúc với một số khối xoay như khối nón xoay, khối trụ xoay, khối cầu xoay, v.v.

2. Tính thể tích khối tròn quay quanh trục ox

Nếu hình tròn quay quanh trục Ox thì để tính thể tích của hình tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối xoay được tạo bởi

Dòng y=f(x)
Trục ngang $toán học{y}=0$
x=a ; x=b

Sau đó, công thức cho khối lượng sẽ là:

$V=pi int_{a}^{b} f^{2}(x) dx$

Trường hợp 2: Khối xoay được tạo bởi:

Dòng y=f(x)
Dòng y=g(x)
x=a ; x=b

Khi đó công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay sẽ là

$V=pi int_{a}^{b}trái[f^{2}(x)-g^{2}(x)right] dx(g(x) leq f(x) text { with } forall x in[a ; b])$

3. Tính thể tích khối tròn quay quanh trục Oy

Nếu hình tròn quay quanh trục Oy thì để tính thể tích khối lập phương xoay có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Vòng tròn quay được tạo bởi:

Dòng x=g(y)
Trục đứng $(toán học{x}=0)$
$mathrm{y}=mathrm{c} ; mathrm{y}=mathrm{d}$

Khi đó công thức tính thể tích của khối lập phương xoay sẽ là:

$V=pi int_{c}^{d} g^{2}(y) dy$

trường hợp 2 : Khối xoay được tạo bởi:

Dòng x=f(y)
Dòng x=g(y)
$mathrm{y}=mathrm{c} ; mathrm{y}=mathrm{d}$

Khi đó thể tích của khối quay sẽ được tính theo công thức sau:

$V=pi int_{c}^{d}trái[f^{2}(y)-g^{2}(y)right] dy quad(g(y) leq f(y) v text { } forall y in[c ; d])$

4. Ví dụ về thể tích khối lập phương xoay

Ví dụ 1: Cho khối tròn xoay tạo bởi đường thẳng $y=sqrt{x}$ ; y=x và quay quanh trục Ox, hãy tính thể tích của khối lập phương xoay được.

Phần thưởng:

Giải phương trình: $sqrt{x}=x Leftrightarrow x in{0 ; Đầu tiên}$

Thể tích khối lập phương tròn xoay là:

$V=pi int_{0}^{1} int(sqrt{x})^{2} d x-pi int_{0}^{1} int(x)^{2} dx=frac{pi}{6 }(dvtt)$

Ví dụ 2: Tính thể tích khối lập phương tròn xoay tạo bởi các đường $y=frac{2}{y}$ ; trục đứng, $toánrm{y}= 1 ; toánrm{y}=4$

Phần thưởng:

Thể tích khối lập phương xoay tạo bởi các đường $y=frac{2}{y}$ ; trục đứng, $toánrm{y}= 1 ; toánrm{y}=4$ Được

$V=pi int_{1}^{4}left(frac{2}{y}right)^{2} dy=int_{1}^{4} frac{4}{y^{2}} dy=- frac{4}{y} l_{1}^{4}=3(mathrm{~d} vtt)$

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối lập phương xoay được tạo bởi $y=sqrt{x} ; y=-x+2 ; y=0$ quanh trục Oy

Phần thưởng

Tôi viết lại những dòng $left{begin{array}{l}y geq 0 x=y^{2}end{array}, x=2-y, y=0right.$

Khi đó thể tích của khối quay được tính như sau:

$V=left|pi int_{0}^{1}(2-y)^{2}-left(y^{2}right)^{2} d yright|=frac{32 pi}{15}(mathrm {~d}vtt)$

Ví dụ 4

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π (hình vẽ) quanh trục Ox.

Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay 12

Câu trả lời

Áp dụng công thức của định lý trên, ta có

$V=pi int_0^pi sin ^2 xdx=frac{pi}{2} int_0^pi(1-cos 2 x) dx$

$=left.frac{pi}{2}left(x-frac{1}{2} sin 2 xright)right|_0 ^pi$

$=frac{pi}{2}left(pi-frac{1}{2} sin 2 piright)-frac{pi}{2}left(0-frac{1}{2} sin 0right)$

$=frac{pi^2}{2}$

Ví dụ 5

Tính thể tích của khối lập phương xoay thu được khi quay mặt phẳng giới hạn bởi đường cong $y=sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành quanh trục hoành.

Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay 13

Phần thưởng:

Chúng tôi thấy:

$Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay 14$ y^2=A^2 -x^2 y^2 +x^2 = A^2″ width=”460″ height=”24″ data-latex=”y=sqrt{A^2-x^2} y^2=A^2 – x^2 y^2 +x^2 = A^2″ data-i=”20″ class=”lười” data-src=”https://o.rada.vn/data/image/holder .png”/>

LÀM $sqrt{A^2-x^2}ge 0$ với mọi x nên đây là phương trình nửa đường tròn tâm O bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox hình phẳng sẽ tạo ra một mặt cầu có tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Vì vậy chúng tôi luôn có

$V=frac{4}{3}pi A^3$

Như vậy với dạng bài toán này ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 6

Tính thể tích của vật nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có tọa độ x(0≤x≤ 1) là hình chữ nhật có độ dài cạnh x và ln(x²+1).

Phần thưởng:

Vì thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:

$S(x)=xln(x2^{ }+1)$

Ta có thể tích cần tính là

$mathrm{V}=int_0^1 mathrm{x} ln left(mathrm{x}^2+1right) mathrm{dx}$

$mathrm{V}=frac{1}{2} int_0^1 ln left(mathrm{x}^2+1right) mathrm{d}left(mathrm{x}^2+1right)$

$=left.frac{1}{2}left(mathrm{x}^2+1right) ln left(mathrm{x}^2+1right)right|_0 ^1-frac{1}{2} int_0^1left( mathrm{x}^2+1right) mathrm{d}left(ln left(mathrm{x}^2+1right)right)$

$=ln 2-frac{1}{2} int_0^1 2 xdx=ln 2-frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay quanh trục Ox. Tính thể tích hình tròn được tạo thành.

Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay 15

Phần thưởng:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 3x với y = x là O(0,0).

Vậy thể tích của khối tròn cần tính là:

$V=pi int_0^1left|9 x^2-x^2right| dx=pi int_0^1 8 x^2 dx$

$Leftrightarrow V=left.pi frac{8 x^3}{3}right|_0 ^1=frac{8}{3} pi$

Ví dụ 8 Cho mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x²; y² = 4x quay quanh trục Ox. Tính thể tích hình tròn được tạo thành.

Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay 16

Phần thưởng:

Với $Hỏi về[0;2]$ sau đó $y^2=4x$ tương đương $y=2sqrt{x}$ . Tọa độ giao điểm của đường thẳng $mathrm{y}=2 mathrm{x}^2$ với $toán học {y}^2=4 toán học {x}$ là các điểm O(0,0) và A(1,2).

Vậy thể tích của khối tròn cần tính là:

$V=pi int_0^1left|4 x-4 x^4right| dx=pi int_0^1left(4 x-4 x^4right) dx$

$V=left.pi cdotleft(2 x^2-frac{4 x^5}{5}right)right|_0 ^1=frac{6}{5} pi$

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết này Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay Công thức tính thể tích khối lập phương tròn xoay của thuthuatcaidat.com, nếu thấy bài viết hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá để website được giới thiệu đến mọi người. Chân thành cảm ơn.